комплексные числа
Apr. 29th, 2009 11:26 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
sab123В зиване зашел треп про комплексные числа. Решил сюда рассказ скопировать, а то люди нихрена их не понимают. Фундаментальная проблема с преподаванием комплексных чисел в школе заключается в том, что там нифига не рассказывают про их физический смысл, а заморачиваются со всякими дурацкими i и корнями из -1. Я сам эту фишку просек только во время курса Теоретических основ электротехники в институте, где идет расчет всяких переменных токов, которые изображаются комплексными числами.
В-общем, суть такова: Обычное вещественное число представляет собой точку на числовой прямой. То есть, одномерную коордиинату - скажем, традиционно x.
Комплексное число представляет собой точку (или вектор, что для целей нашей дискуссии один хрен) на плоскости. То есть, пару координат (x,y).
Вектором оно будет, если нарисовать стрелочку от точки (0,0) к нашей точке (x,y), обозначенной звездочкой. Вот эта стрелочка и будет называться вектором.
Отсюда наглядно видно, что вещественные числа представляют собой подмножество комплексных: каждое вещественное число заодно можно считать и комплексным числом, у которого координата Y равна 0. То есть, вместо 10 мы можем с тем же успехом писать (10, 0).
Координату X в паре, представляющей комплексное число, математики называют "действительной частью комплексного числа", координату Y - "мнимой частью комплексного числа".
Математики - люди, которые простых путей не ищут. Поэтому вместо того, чтобы записывать пару по-простому как "(x, y)", они пишут "x + i*y". Где i - специальный символ, означающий "это координата по оси Y". То есть, "(3, -5)" они пишут как "3 - i*5". В электротехнике, кстати, вместо i пишут j, потому что букву i там уже раньше употребили для обозначения силы тока.
С парами нельзя производить вычислений просто так, как с простыми вещественными числами. Поэтому для них определяют свои собственные правила вычислений. Они выглядят так:
Почему они именно такие, а не другие? Потому что раз комплексные числа - представления векторов, то это на самом деле правила операций над векторами.
Сложение векторов - это берем две стрелочки (вектора), первую стрелочку помещаем жопой в (0,0), а вторую приставляем жопой к носу первой. После чего рисуем новую стрелочку от жопы первой к носу второй, и говорим, что это - результат. С точки зрения циферок оно эквивалентно сложению каждой координаты по-отдельности.
Умножение векторов более сложно. Вектор можно представить двояко: или в прямоугольных кооринатах (та самая пара (x, y)), или в полярных. В полярных координатах та же стрелочка представляется опять парой, но другой парой. Первое число в паре будет длина стрелочки, второе - угол, на который стрелочка отклонена от прямой X (в направлении против часовой стрелки). Так вот, умножение векторов удобнее представлять в полярных координатах. Тогда длины стрелочек умножаются, а углы складываются.
Соответственно, формула для умножения чуть выше - это то, что получается, если применить формулу перевода их прямоугольных координат в полярные, умножить длины и сложить углы, а потом применить формулу для перевода из полярных координат назад в прямоугольные, и сократить лишнее.
Для примера попробуем умножить число (0, 1) само на себя. Это число интересно тем, что состоит только из мнимой части, при нулевой действительной.
В полярные координаты мы его можем перевести и без формулы, а просто посмотрев на изображение на картинке: получится длина 1 и угол 90 градусов. Умножаем само на себя: 1*1 = 1, 90+90=180, то есть длина 1 и угол 180 градусов.
Переводим назад в прямоугольную систему координат, опять по картинке, получаем (-1, 0). Что эквивалентно вещественному числу -1. Тут умные математики говорят "ага, если число, умноженное само на себя, дает -1, значит это квадратный корень из -1", и радостно называют это число i.
Теперь следующий фокус: возьмем какое-нибудь вещественное число, скажем 10, и умножим его на магическое число i. 10 - это у нас пара (10, 0), i - пара (0, 1), получаем:
(10, 0) * (0, 1) = (10*0 - 0*1, 0*0 + 10*1) = (0, 10)
В-общем, i - это такое специальное число, при умножении на которое вектор поворачивается на 90 градусов, и соответственно если мнимая часть изначального числа была 0, то действительная часть и мнимая часть в результате меняются местами.
P.S. Поправил: конечно, "действительная" и "мнимая" часть, а не "вещественная" и "комплексная".
В-общем, суть такова: Обычное вещественное число представляет собой точку на числовой прямой. То есть, одномерную коордиинату - скажем, традиционно x.
--------------+-------*--------> X
0 x
Комплексное число представляет собой точку (или вектор, что для целей нашей дискуссии один хрен) на плоскости. То есть, пару координат (x,y).
^ Y
|
|
|
| x
---------------+--------------> X
0| .
| .
y|. . . *
|
Вектором оно будет, если нарисовать стрелочку от точки (0,0) к нашей точке (x,y), обозначенной звездочкой. Вот эта стрелочка и будет называться вектором.
Отсюда наглядно видно, что вещественные числа представляют собой подмножество комплексных: каждое вещественное число заодно можно считать и комплексным числом, у которого координата Y равна 0. То есть, вместо 10 мы можем с тем же успехом писать (10, 0).
Координату X в паре, представляющей комплексное число, математики называют "действительной частью комплексного числа", координату Y - "мнимой частью комплексного числа".
Математики - люди, которые простых путей не ищут. Поэтому вместо того, чтобы записывать пару по-простому как "(x, y)", они пишут "x + i*y". Где i - специальный символ, означающий "это координата по оси Y". То есть, "(3, -5)" они пишут как "3 - i*5". В электротехнике, кстати, вместо i пишут j, потому что букву i там уже раньше употребили для обозначения силы тока.
С парами нельзя производить вычислений просто так, как с простыми вещественными числами. Поэтому для них определяют свои собственные правила вычислений. Они выглядят так:
(c, d) = (a+c, b+d) (a, b) * (c, d) = (ac-bd, bc+ad)
Почему они именно такие, а не другие? Потому что раз комплексные числа - представления векторов, то это на самом деле правила операций над векторами.
Сложение векторов - это берем две стрелочки (вектора), первую стрелочку помещаем жопой в (0,0), а вторую приставляем жопой к носу первой. После чего рисуем новую стрелочку от жопы первой к носу второй, и говорим, что это - результат. С точки зрения циферок оно эквивалентно сложению каждой координаты по-отдельности.
Умножение векторов более сложно. Вектор можно представить двояко: или в прямоугольных кооринатах (та самая пара (x, y)), или в полярных. В полярных координатах та же стрелочка представляется опять парой, но другой парой. Первое число в паре будет длина стрелочки, второе - угол, на который стрелочка отклонена от прямой X (в направлении против часовой стрелки). Так вот, умножение векторов удобнее представлять в полярных координатах. Тогда длины стрелочек умножаются, а углы складываются.
Соответственно, формула для умножения чуть выше - это то, что получается, если применить формулу перевода их прямоугольных координат в полярные, умножить длины и сложить углы, а потом применить формулу для перевода из полярных координат назад в прямоугольные, и сократить лишнее.
Для примера попробуем умножить число (0, 1) само на себя. Это число интересно тем, что состоит только из мнимой части, при нулевой действительной.
^ Y
|
* 1
|
| 90 градусов
---------------+--------------> X
0|
|
|
|
В полярные координаты мы его можем перевести и без формулы, а просто посмотрев на изображение на картинке: получится длина 1 и угол 90 градусов. Умножаем само на себя: 1*1 = 1, 90+90=180, то есть длина 1 и угол 180 градусов.
^ Y
|
|
|
| 180 градусов
--------*------+--------------> X
-1 0|
|
|
|
Переводим назад в прямоугольную систему координат, опять по картинке, получаем (-1, 0). Что эквивалентно вещественному числу -1. Тут умные математики говорят "ага, если число, умноженное само на себя, дает -1, значит это квадратный корень из -1", и радостно называют это число i.
Теперь следующий фокус: возьмем какое-нибудь вещественное число, скажем 10, и умножим его на магическое число i. 10 - это у нас пара (10, 0), i - пара (0, 1), получаем:
(10, 0) * (0, 1) = (10*0 - 0*1, 0*0 + 10*1) = (0, 10)
В-общем, i - это такое специальное число, при умножении на которое вектор поворачивается на 90 градусов, и соответственно если мнимая часть изначального числа была 0, то действительная часть и мнимая часть в результате меняются местами.
P.S. Поправил: конечно, "действительная" и "мнимая" часть, а не "вещественная" и "комплексная".
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2009-04-29 06:09 pm (UTC)no subject
Date: 2009-04-29 06:57 pm (UTC)Все правильно
Date: 2009-04-29 07:51 pm (UTC)no subject
Date: 2009-04-29 08:17 pm (UTC)no subject
Date: 2009-04-29 11:55 pm (UTC)no subject
Date: 2009-04-30 01:40 am (UTC)Собственно, и достоинство и проблема математики в том, что ее можно свести к тупому гонянию символов по правилам. Но вот чтобы понимать эти символы и делать догадки об их взаимосвязях, все равно надо иметь наглядное представление о том, что они на самом деле значат.
no subject
Date: 2012-02-07 09:54 pm (UTC)no subject
Date: 2012-02-13 07:03 pm (UTC)no subject
Date: 2014-01-06 08:50 am (UTC)