sab123 | комплексные числа

В зиване зашел треп про комплексные числа. Решил сюда рассказ скопировать, а то люди нихрена их не понимают. Фундаментальная проблема с преподаванием комплексных чисел в школе заключается в том, что там нифига не рассказывают про их физический смысл, а заморачиваются со всякими дурацкими i и корнями из -1. Я сам эту фишку просек только во время курса Теоретических основ электротехники в институте, где идет расчет всяких переменных токов, которые изображаются комплексными числами.

В-общем, суть такова: Обычное вещественное число представляет собой точку на числовой прямой. То есть, одномерную коордиинату - скажем, традиционно x.

--------------+-------*--------> X
              0       x

Комплексное число представляет собой точку (или вектор, что для целей нашей дискуссии один хрен) на плоскости. То есть, пару координат (x,y).

               ^ Y
               |
               |     
               |
               |      x 
---------------+--------------> X
              0|      .
               |      .
              y|. . . *
               |

Вектором оно будет, если нарисовать стрелочку от точки (0,0) к нашей точке (x,y), обозначенной звездочкой. Вот эта стрелочка и будет называться вектором.

Отсюда наглядно видно, что вещественные числа представляют собой подмножество комплексных: каждое вещественное число заодно можно считать и комплексным числом, у которого координата Y равна 0. То есть, вместо 10 мы можем с тем же успехом писать (10, 0).

Координату X в паре, представляющей комплексное число, математики называют "действительной частью комплексного числа", координату Y - "мнимой частью комплексного числа".

Математики - люди, которые простых путей не ищут. Поэтому вместо того, чтобы записывать пару по-простому как "(x, y)", они пишут "x + i*y". Где i - специальный символ, означающий "это координата по оси Y". То есть, "(3, -5)" они пишут как "3 - i*5". В электротехнике, кстати, вместо i пишут j, потому что букву i там уже раньше употребили для обозначения силы тока.

С парами нельзя производить вычислений просто так, как с простыми вещественными числами. Поэтому для них определяют свои собственные правила вычислений. Они выглядят так:

(c, d) = (a+c, b+d)
(a, b) * (c, d) = (ac-bd, bc+ad)

Почему они именно такие, а не другие? Потому что раз комплексные числа - представления векторов, то это на самом деле правила операций над векторами.

Сложение векторов - это берем две стрелочки (вектора), первую стрелочку помещаем жопой в (0,0), а вторую приставляем жопой к носу первой. После чего рисуем новую стрелочку от жопы первой к носу второй, и говорим, что это - результат. С точки зрения циферок оно эквивалентно сложению каждой координаты по-отдельности.

Умножение векторов более сложно. Вектор можно представить двояко: или в прямоугольных кооринатах (та самая пара (x, y)), или в полярных. В полярных координатах та же стрелочка представляется опять парой, но другой парой. Первое число в паре будет длина стрелочки, второе - угол, на который стрелочка отклонена от прямой X (в направлении против часовой стрелки). Так вот, умножение векторов удобнее представлять в полярных координатах. Тогда длины стрелочек умножаются, а углы складываются.

Соответственно, формула для умножения чуть выше - это то, что получается, если применить формулу перевода их прямоугольных координат в полярные, умножить длины и сложить углы, а потом применить формулу для перевода из полярных координат назад в прямоугольные, и сократить лишнее.

Для примера попробуем умножить число (0, 1) само на себя. Это число интересно тем, что состоит только из мнимой части, при нулевой действительной.

               ^ Y
               |
               * 1
               |
               | 90 градусов
---------------+--------------> X
              0|
               |
               |
               |

В полярные координаты мы его можем перевести и без формулы, а просто посмотрев на изображение на картинке: получится длина 1 и угол 90 градусов. Умножаем само на себя: 1*1 = 1, 90+90=180, то есть длина 1 и угол 180 градусов.

               ^ Y
               |
               |
               |
               | 180 градусов
--------*------+--------------> X
       -1     0|
               |
               |
               |

Переводим назад в прямоугольную систему координат, опять по картинке, получаем (-1, 0). Что эквивалентно вещественному числу -1. Тут умные математики говорят "ага, если число, умноженное само на себя, дает -1, значит это квадратный корень из -1", и радостно называют это число i.

Теперь следующий фокус: возьмем какое-нибудь вещественное число, скажем 10, и умножим его на магическое число i. 10 - это у нас пара (10, 0), i - пара (0, 1), получаем:

(10, 0) * (0, 1) = (10*0 - 0*1, 0*0 + 10*1) = (0, 10)

В-общем, i - это такое специальное число, при умножении на которое вектор поворачивается на 90 градусов, и соответственно если мнимая часть изначального числа была 0, то действительная часть и мнимая часть в результате меняются местами.

P.S. Поправил: конечно, "действительная" и "мнимая" часть, а не "вещественная" и "комплексная".